Oto mała papierowa tajemnica, która sprawi, że twoi matematycznie skłonni przyjaciele - i być może twój nauczyciel geometrii - całkowicie oszaleją. Używając prostej pomocy wizualnej, możesz udowodnić, że trójkąt, który zbudowałeś z kart - tuż przed ich oczami, jeśli chcesz - jest większy po jednej stronie niż po drugiej. Nauczyłem się tego małego dziwactwa wiele lat temu od pana Martina Gardnera, który przez dwadzieścia pięć lat napisał kolumnę „Mathematical Games” dla czasopisma Scientific American i regularnie wymyślał fascynujące i umysłowe ciekawostki.

Kieszonkowe dzieci:

Krok 1: Wydrukuj i wytnij trójkąt

Wszystko, czego potrzebujesz, to kawałek karty o wymiarach 8 1/2 x 11 cali z innym dość sztywnym papierem, nożyczki i siatka z trójkątem na rysunku 1. Skopiuj i zapisz siatkę wykresu na komputerze, otwórz ją w wybrany program graficzny, a następnie wydrukuj go na kartach, wybierając „Dopasuj do dostępnej przestrzeni” przed wydrukowaniem.

Po wydrukowaniu zauważysz, że masz trójkąt równoramienny - trójkąt o dwóch równych krawędziach długości. Trójkąt jest wydrukowany na siatce kwadratów o szerokości 10 kwadratów i wysokości 12 kwadratów, co oznacza, że ​​prostokątna siatka ma powierzchnię 120 kwadratów. Jeśli pamiętasz swoją geometrię, będziesz wiedział, że trójkąt równoramienny zbudowany w siatce o wymiarach 10 na 12 120 kwadratów będzie miał powierzchnię równą dokładnie połowie powierzchni prostokątnej siatki, z której został skonstruowany, to znaczy obszar 60 kwadratów w tym przypadku. Jeśli nie pamiętasz, będziesz miał okazję udowodnić to sobie w ciągu kilku sekund.

Ostrożnie wycinaj z papieru prostokątną siatkę, a następnie wycinaj trójkąt z prostokątnej siatki wzdłuż czarnych linii. Teraz możesz zademonstrować sobie (lub swojej publiczności), że powstały trójkąt jest dokładnie połową obszaru oryginalnego prostokąta, biorąc dwa pozostałe trójkąty po prawej i układając je na szczycie trójkąta równoramiennego, aby pokazać, że dokładnie pokrywają trójkąt równoramienny - Trójkąt równoramienny ma powierzchnię 60 kwadratów, a dwa wycięte trójkąty mają powierzchnię 30 kwadratów. Po tej demonstracji po prostu wyrzuć dwa pozostałe trójkąty. Teraz ostrożnie wytnij trójkąt równoramienny na sześć kawałków wzdłuż czerwonych linii. Twoje sześć kawałków, ponownie złożonych, będzie wyglądało tak, jak na rysunku 2.

Krok 2: Złóż trójkąt z tylną stroną do góry

Odwróć sześć części do góry nogami i ustaw je tak, jak pokazano na rysunku 3, w trójkącie równoramiennym. Zauważysz, że kiedy układasz trójkąt z powrotem, kawałki nie znajdują się w tych samych miejscach, w których były pierwotnie … ale nadal tworzą trójkąt równoramienny. Jeśli demonstrujesz to komuś, a oni tego nie zauważają, nie ma powodu, aby to wskazywać. Jeśli to zauważą, po prostu wyjaśnij to, co właśnie zrobiłem - kawałki nadal tworzą trójkąt równoramienny. Ale tutaj jest dziwnie. Jak widzisz, masz teraz w swoim trójkącie dwa kwadratowe otwory. Oznacza to, że albo (a) tylna strona twojego trójkąta jest o dwa kwadraty większe niż przednia lub (b) twój papier ma dwa kwadraty mniejsze na tylnej stronie niż na froncie!

Krok 3: Ułóż kawałki trójkąta w prostokąt

Ale jeszcze nie skończyłeś. Teraz przekręć jeden z kształtów z powrotem, tak aby strona siatki była uniesiona i ułóż je tak, jak pokazano na rysunku 4. Jak widać, tworzą ładny prostokąt, ale brakuje mu czterech kwadratów. Istnieją również dwa sposoby interpretacji tego zjawiska. Po pierwsze, możesz wywnioskować, że twój papier skurczył się ponownie, ponieważ brakuje ci teraz czterech kwadratów. Jednak jakiś mądry facet może spojrzeć na skonstruowany prostokąt i zauważyć, że jest to siedem kwadratów o dziewięciu kwadratach, o łącznej powierzchni 63 pól. Ale ponieważ brakuje wyraźnie czterech pól, oznacza to, że obszar twoich trójkątów wynosi obecnie 59 pól … a to oznacza, że ​​straciłeś tylko jeden kwadrat. Możesz to wyjaśnić, mówiąc publiczności, że ma to sens: jeśli tylna strona twojego trójkąta ma dwa kwadraty mniejsze niż przednia strona, a teraz używasz połowy elementów skierowanych do przodu, a połowa z nich skierowana do tyłu, to tylko stoi rozumiem, że stracisz tylko połowę powierzchni, tak jak wtedy, gdy wszyscy byli skierowani do tyłu. Jeśli demonstrujesz to swojemu nauczycielowi geometrii, jest to punkt, w którym on lub ona może wyjść z pokoju krzycząc!

Jest to niezła zabawa, a wszystko, czego potrzebujesz, to twoja wyobraźnia, aby wymyślić sposoby na zaprezentowanie tego lub opowieści do opowiedzenia w trakcie demonstracji. I tu właśnie pojawia się jednorożec: na przykład - a szczególnie, jeśli demonstrujesz to młodszej publiczności - możesz im powiedzieć, że mówi się, że jeśli zrobisz wystarczająco duży trójkąt, aby po złożeniu kawałków do tyłu, wiatr z dużym otworem w środku trójkąta przez dziurę przebiega jednorożec. Nie mogę osobiście potwierdzić prawdziwości tego twierdzenia, ponieważ nigdy nie próbowałem zbudować niemożliwego trójkąta wystarczająco dużego, by przyciągnąć uwagę jednorożca. Możesz równie dobrze zrobić dużą wersję z tablicy plakatowej i zrobić małą prezentację dla klasy geometrii lub nauki … lub po prostu być zadowolonym z prowadzenia wszystkich, których znasz! Nie będę próbował wyjaśniać, dlaczego i jak to działa - częścią zabawy jest tajemnica. Po prostu wiedz, że nie ma absolutnie żadnej sztuczki; kwadraty siatki są właśnie takie - idealnie kwadratowe; nie ma fantazyjnego lub zwodniczego cięcia kawałków; po prostu wycinaj je tak starannie i dokładnie, jak tylko możesz. Daj mi znać, ilu ludzi jeździsz bananami z tą małą ciekawością, a jeśli uznasz to za intrygujące, będę naprawdę wdzięczny za twój głos. Dzięki i…

Pokój, Radical Geezer